CFA二级考试难点分析：时间序列分析逻辑框架

1、时间序列分析只有一组时间序列数据，要预测下一期的数据。回归可以用来预测，但是由于时间序列分析只有一组数据（因变量），缺少自变量，因此要解决自变量的问题。

2、线性趋势模型（Linear trend model）就是用时间（t）来做自变量的一元回归模型，这就解决了缺少自变量的问题。但是时间序列数据不一定与时间t线性相关，很有可能是加速上升或者加速下降的。因此，做线性回归之后可能存在自相关。

3、拿到一组时间序列数据，我们先做线性趋势模型，然后用Durbin Watson检验来检验自相关。如果Durbin Watson检验不能拒绝原假设（没有自相关），那么就用线性趋势模型；如果Durbin Watson检验拒绝原假设（有自相关），那么就用对数线性趋势模型。

4、对数线性趋势模型（Log-linear trend model）昨晚之后，仍然用Durbin Watson检验来检验自相关。如果Durbin Watson检验不能拒绝原假设，那么就用对数线性趋势模型；如果Durbin Watson检验拒绝原假设，那么就用自回归模型。

5、自回归模型（Autoregressive model）是用上一期的因变量来做自变量，因此也解决了缺少自变量的问题。

6、但是自回归模型是否解决了自相关的问题呢？我们做完一个自回归模型AR(1)之后，不能用Durbin Watson检验来检验自相关，而要用最原始的方法，计算每一个自相关系数，对每一个自相关系数做显著性检验t检验。如果每一个自相关系数的显著性t检验都不能拒绝原假设（没有自相关），那么就用这个AR(1)模型；如果有一个自相关系数的显著性t检验都拒绝原假设（有自相关），那么就要引入一个季节性延迟变量（seasonal lag），然后以新的（二元）自回归模型重新回归，估计回归参数。

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7、新的（二元）自回归模型重新回归之后，我们仍然计算每一个自相关系数，对每一个自相关系数做显著性检验t检验。如果每一个自相关系数的显著性t检验都不能拒绝原假设（没有自相关），那么就用这个新的（二元）自回归模型；如果有一个自相关系数的显著性t检验都拒绝原假设（有自相关），那么就要再引入一个季节性延迟变量，然后以新的（三元）自回归模型重新回归。这样周而复始，不断引入季节性延迟变量，最终总能使每一个自相关系数的显著性t检验都不能拒绝原假设。也就是说，自回归模型可以根本解决自相关的问题。

8、自回归模型虽然解决了自相关的问题，但是带来了一个新的问题：只有平稳的时间序列数据才能做自回归，这是自回归模型的前提条件。CFA称平稳的时间序列数据为协方差恒定的时间序列数据（Covariance-stationary series）。

9、时间序列数据要协方差恒定，有一个必要条件，就是必须要有一个均值回复水平（mean reverting level）。对AR(1)模型，均值回复水平＝b0/(1-b1)。如果b1＝1，则该AR(1)模型不存在均值回复水平，这个时间序列数据也就不满足协方差恒定。因此，做了一个AR(1)模型之后，我们要用Dickey-Fuller检验来检验斜率系数b1是否显著不等于1（b1等于1称为单位根）。如果Dickey-Fuller检验可以拒绝原假设，那么就没有单位根，可以用这个AR(1)模型；如果Dickey-Fuller检验不能拒绝原假设，那么就有单位根，不可以用这个AR(1)模型，此时这个AR(1)模型称为随机游走模型。

10、随机游走模型（Random walk）有单位根b1等于1，因此不满足协方差恒定的前提条件，必须做一阶差分（First differencing）。一阶差分最终能解决单位根的问题。